总体评价与特点

2010年数学二真题被普遍认为是“考研数学改革元年”的标志性试卷，它彻底告别了过去“偏、怪、难”的风格，转向了对基础知识、基本概念和基本方法的全面、深入考查。

核心特点：

1. 回归基础，注重概念理解： 试卷中大量题目直接考查对基本概念（如极限、导数、积分、中值定理等）的深刻理解，而非复杂的计算技巧,选择题和填空题中出现了多个需要通过概念辨析才能解决的题目。
2. 计算量适中，但思维要求提高： 整体计算量比往年有所降低，但对考生的逻辑推理能力和分析能力要求显著提高，题目不再是简单的“套公式”,而是需要考生理解题目背后的数学思想。
3. 综合性增强，知识点交叉融合： 解答题部分，各知识点之间的联系更加紧密，一道题可能同时考查微分方程、定积分、极限等多个知识点,要求考生具备融会贯通的能力。
4. 应用题和证明题比重加大： 对实际问题（如几何应用、物理应用）的建模和求解能力要求更高，证明题虽然只有一道，但对中值定理的考查非常经典和深刻,区分度很高。

难度评估： 整体难度适中偏上，但区分度非常好，基础扎实的考生能拿到一个不错的分数，但想得高分（130+）则需要非常深入的理解和灵活的运用能力。

分题型详细解析

（一） 选择题 (1-8题)

选择题部分体现了“回归基础”的命题思想，很多题目考查的是对定义、定理的精确理解。

• 第1题：极限计算

  
  （图片来源网络，侵删）
  • 题目： $\lim_{x \to \infty} ( \frac{x^2}{(x-a)(x-b)} )^x = $
  • 解析： 这是“1^∞”型未定式，标准解法是利用重要极限 $\lim_{y \to 0} (1+y)^{1/y} = e$。
    • 原式 $= \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{(a+b)x - ab}{(x-a)(x-b)}\right)^x$。
    • 令 $y = \frac{(a+b)x - ab}{(x-a)(x-b)}$，当 $x \to \infty$ 时，$y \sim \frac{a+b}{x} \to 0$。
    • 原式 $= \lim{x \to \infty} \left( (1+y)^{1/y} \right)^{x \cdot y} = e^{\lim{x \to \infty} x \cdot y}$。
    • $\lim{x \to \infty} x \cdot y = \lim{x \to \infty} \frac{(a+b)x^2 - abx}{x^2 - (a+b)x + ab} = a+b$。
    • 极限为 $e^{a+b}$。
  • 考点： 重要极限的应用，未定式定值,属于基础计算题。

• 第2题：导数定义

  • 题目： 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续,下列命题错误的是：
  • 解析： 本题考查导数定义 $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ 的各种变形。
    • A. $\lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ 存在 $\iff f'(0)$ 存在。
    • B. $\lim{h \to 0} \frac{f(2h) - f(0)}{h} = 2\lim{h \to 0} \frac{f(2h) - f(0)}{2h} = 2f'(0)$，若 $f'(0)$ 存在,则B正确。
    • C. $\lim{h \to 0} \frac{f(h) + f(-h) - 2f(0)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h} + \lim_{h \to 0} \frac{f(-h)-f(0)}{-h} \cdot (-1) = f'(0) - f'(0) = 0$，这个极限存在只能推出 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且导数为0，但题目说“错误命题”,所以C不一定错。
    • D. $\lim{h \to 0} \frac{f(h^3) - f(0)}{h^3} \cdot h^2 = f'(0) \cdot 0 = 0$，这个极限存在，只能说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，但反过来，如果这个极限存在，不能保证 $\lim{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$ 存在，设 $f(x) = x^{1/3}$，则 $f(0)=0$，$\lim{h \to 0} \frac{f(h^3)-f(0)}{h} = \lim{h \to 0} \frac{h}{h} = 1$，但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。
    • D是错误的命题。
  • 考点： 导数定义的深刻理解，区分“可导”与“极限存在”的关系，这是当年非常新颖的考法,区分度很高。

• 第3-8题： 分别考查了定积分的性质、多元函数微分学、二重积分、微分方程、级数和曲线积分，整体难度适中，但都紧扣基本概念和基本方法，第6题考查级数收敛的必要条件，第8题考查曲线积分与路径无关的条件,都是核心知识点。

（二） 填空题 (9-14题)

填空题部分以计算为主,要求考生熟练掌握基本公式和计算技巧。

• 第9题：参数方程求导

  
  （图片来源网络，侵删）
  • 题目： $\left{ \begin{array}{l} x = e^t \sin t \ y = e^t \cos t \end{array} \right.$，求 $\frac{dy}{dx}$ 在 $t=\pi$ 时的值。
  • 解析： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{e^t \cos t - e^t \sin t}{e^t \sin t + e^t \cos t} = \frac{\cos t - \sin t}{\sin t + \cos t}$，当 $t=\pi$ 时，$\frac{dy}{dx} = \frac{-1-0}{0-1} = 1$。
  • 考点： 参数方程求导,基本计算。

• 第10题：定积分计算

  • 题目： $\int_{0}^{\pi^2} \sqrt{x} \sin \sqrt{x} dx = $
  • 解析： 含根号的积分，通常用换元法，令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$，$dx = 2t dt$。
    • 原式 $= \int{0}^{\pi} t \sin t \cdot 2t dt = 2 \int{0}^{\pi} t^2 \sin t dt$。
    • 使用分部积分法，设 $u=t^2$，$dv=\sin t dt$，则 $du=2tdt$，$v=-\cos t$。
    • $= 2[ -t^2 \cos t \big|{0}^{\pi} + \int{0}^{\pi} 2t \cos t dt ] = 2[ \pi^2 + 2 \int_{0}^{\pi} t \cos t dt ]$。
    • 对 $\int t \cos t dt$ 再次分部积分，设 $u=t$，$dv=\cos t dt$，则 $du=dt$，$v=\sin t$。
    • $= 2[ \pi^2 + 2( t \sin t \big|{0}^{\pi} - \int{0}^{\pi} \sin t dt ) ] = 2[ \pi^2 + 2(0 - (-\cos t \big|_{0}^{\pi})) ] = 2[ \pi^2 + 2(-1-1)] = 2\pi^2 - 8$。
  • 考点： 换元积分法、分部积分法，计算量稍大,但都是常规方法。

• 第11-14题： 分别考查了多元函数全微分、二阶常系数非齐次线性微分方程、反常积分、空间解析几何，都是对应章节的核心内容，例如第12题的微分方程是标准类型,第13题的反常积分通过变量替换即可求解。

（三） 解答题 (15-23题)

解答题是区分度最高的部分,全面考查考生的综合能力。

• 第15题：极限计算

  • 题目： $\lim_{x \to \infty} (x^2 - x^3) \sin \frac{1}{x}$。
  • 解析： 这是“$0 \cdot \infty$”型未定式，通常转化为“$\frac{0}{0}$”或“$\frac{\infty}{\infty}$”型。
    • 原式 $= \lim{x \to \infty} x^3 (\frac{1}{x^2} - 1) \sin \frac{1}{x} = \lim{x \to \infty} \frac{(\frac{1}{x^2} - 1) \sin \frac{1}{x}}{\frac{1}{x^3}}$。
    • 令 $t = \frac{1}{x}$，当 $x \to \infty$，$t \to 0^+$。
    • 原式 $= \lim{t \to 0^+} \frac{(t^2 - 1) \sin t}{t^3} = \lim{t \to 0^+} \frac{t^2 \sin t}{t^3} - \lim{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t^3} = \lim{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t} - \lim_{t \to 0^+} \frac{\sin t}{t^3}$。
    • 第一个极限为1，第二个极限为“$\frac{0}{0}$”型，用洛必达法则：$\lim_{t \to 0^+} \frac{\cos t}{3t^2} = +\infty$。
    • 原式极限为 $-\infty$。
  • 考点： 极限的几种未定式类型，洛必达法则，变量替换,计算过程需要细心。

• 第16题：导数应用（切线与单调性）

  • 题目： 求曲线 $y=\ln x$ 上曲率最大的点。
  • 解析：
    1. 求曲率公式： 曲率 $K = \frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$。
    2. 计算导数： $y' = \frac{1}{x}$，$y'' = -\frac{1}{x^2}$。
    3. 代入曲率公式： $K = \frac{\frac{1}{x^2}}{(1+\frac{1}{x^2})^{3/2}} = \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$。
    4. 求 $K$ 的最大值： 令 $f(x) = \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$，$x>0$。
    5. 求导：$f'(x) = \frac{(1)(x^2+1)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2}(x^2+1)^{1/2} \cdot 2x}{(x^2+1)^3} = \frac{(x^2+1) - 3x^2}{(x^2+1)^{5/2}} = \frac{1-2x^2}{(x^2+1)^{5/2}}$。
    6. 令 $f'(x)=0$，得 $1-2x^2=0$，$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (舍去负值)。
    7. 当 $0 < x < \frac{\sqrt{2}}{2}$，$f'(x)>0$；当 $x > \frac{\sqrt{2}}{2}$，$f'(x)<0$。$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 是极大值点。
    8. 所求点为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \ln \frac{\sqrt{2}}{2})$。
  • 考点： 曲率公式，函数的单调性与极值，综合性较强,但都是常规知识点。

• 第17题：定积分证明与应用

  • 题目： (I) 证明 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx \leq 2 \int_0^1 f(x) dx$，$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递增，$f(0) \ge 0$。
  • 解析：
    1. 思路： 利用单调性，因为 $f(x)$ 单调递增，且 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 在 $(0,1]$ 上单调递减，$f(x)$ 和 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 的乘积 $\frac{f(x)}{\sqrt{x}}$ 的单调性不确定,需要构造辅助函数。
    2. 构造函数： 令 $F(x) = \int_0^x \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt - 2 \int_0^x f(t) dt$，要证 $F(1) \le 0$。
    3. 求导： $F'(x) = \frac{f(x)}{\sqrt{x}} - 2f(x) = f(x) \left( \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 \right)$。
    4. 分析导数： 因为 $f(x) \ge f(0) \ge 0$，$F'(x)$ 的符号由 $(\frac{1}{\sqrt{x}} - 2)$ 决定。
       • 当 $0 < x < \frac{1}{4}$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}} > 2$，$F'(x) > 0$，$F(x)$ 单调递增。
       • 当 $\frac{1}{4} < x < 1$ 时，$\frac{1}{\sqrt{x}} < 2$，$F'(x) < 0$，$F(x)$ 单调递减。
    5. 找极值点： $F(x)$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处取得极大值。
    6. 证明结论： $F(1) \le F(\frac{1}{4})$，计算 $F(\frac{1}{4})$： $F(\frac{1}{4}) = \int_0^{1/4} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt - 2 \int_0^{1/4} f(t) dt$。 由于 $f(t)$ 单调递增，在 $[0, 1/4]$ 上，$f(t) \le f(1/4)$。 $\int_0^{1/4} \frac{f(t)}{\sqrt{t}} dt \le f(1/4) \int_0^{1/4} t^{-1/2} dt = f(1/4) \cdot 2\sqrt{t} \big|_0^{1/4} = f(1/4) \cdot 1$。 $2 \int_0^{1/4} f(t) dt \ge 2 \int_0^{1/4} f(0) dt = 2f(0) \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}f(0)$。 这个方向似乎不太好，换一种思路： $F(\frac{1}{4}) = \int_0^{1/4} f(t) (\frac{1}{\sqrt{t}} - 2) dt$。 在 $[0, 1/4]$ 上，$\frac{1}{\sqrt{t}} - 2 \ge 0$，$F(\frac{1}{4}) \ge 0$。 这不能推出 $F(1) \le 0$,看来我的构造函数有问题。
    7. 正确思路（利用积分不等式）： $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \int0^{1/4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx + \int{1/4}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx$。 在 $[0, 1/4]$ 上，$\frac{1}{\sqrt{x}} \ge 2$，$\int_0^{1/4} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx \ge 2 \int0^{1/4} f(x) dx$。 在 $[1/4, 1]$ 上，$\frac{1}{\sqrt{x}} \le 2$，$\int{1/4}^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx \le 2 \int_{1/4}^1 f(x) dx$。 两式相加：$\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx \ge 2 \int0^{1/4} f(x) dx + 2 \int{1/4}^1 f(x) dx - \text{something}$? 不对。
    8. 最简洁的证明： 令 $x = t^2$，$dx = 2t dt$。 $\int_0^1 \frac{f(x)}{\sqrt{x}} dx = \int_0^1 \frac{f(t^2)}{t} \cdot 2t dt = 2 \int_0^1 f(t^2) dt$。 因为 $f(x)$ 单调递增，且 $x \in [0,1]$ 时，$t^2 \le t$，$f(t^2) \le f(t)$。 $2 \int_0^1 f(t^2) dt \le 2 \int_0^1 f(t) dt$。 证毕。
  • 考点： 定积分的性质，单调性的应用，变量替换,证明题需要巧妙的构造或变形。

• 第18题：多元函数微分学

  • 题目： 求函数 $u = f(x,y,z)$ 在点 $(0,0,1)$ 处沿方向 $l = (2, -2, 1)$ 的方向导数，$f(x,y,z)$ 可微，且 $f(x,y,0) = 0$，$\frac{\partial f}{\partial x} \big|{(1,0,0)} = x$，$\frac{\partial f}{\partial y} \big|{(1,0,0)} = y$。
  • 解析：
    1. 方向导数公式： $\frac{\partial u}{\partial l} = \nabla f \cdot \frac{\vec{l}}{|\vec{l}|}$。
    2. 计算方向余弦： $\vec{l} = (2, -2, 1)$，$|\vec{l}| = \sqrt{4+4+1} = 3$，单位向量 $\vec{e_l} = (\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3})$。
    3. 求梯度 $\nabla f$ 在 $(0,0,1)$ 处的值： $\nabla f = (f_x, f_y, f_z)$。
    4. 利用条件求偏导：
       • 由 $f(x,y,0) = 0$，对 $x$ 求偏导：$f_x(x,y,0) = 0$。
       • 对 $y$ 求偏导：$f_y(x,y,0) = 0$。
       • 在 $(0,0,1)$ 点，$f_x(0,0,1)$ 和 $f_y(0,0,1)$ 的值未知。
       • 题目给出的条件是 $\frac{\partial f}{\partial x} \big|{(1,0,0)} = x$，这似乎是个笔误或者表述不清，更合理的理解是 $\frac{\partial f}{\partial x} \big|{(x,y,0)} = x$，同理 $\frac{\partial f}{\partial y} \big|_{(x,y,0)} = y$。
       • 我们需要求的是在 $(0,0,1)$ 处的值，题目信息不足，通常这类题会给出 $f_z$ 的信息，我们重新审视题目，可能题目意思是：已知 $f(x,y,0)=0$，并且已知 $f_x, f_y$ 的表达式，但要在 $(0,0,1)$ 点求。
       • 我们只能假设题目给出的偏导数是在任意点 $(x,y,0)$ 处的值，即 $f_x(x,y,0)=x$，$f_y(x,y,0)=y$。
       • 但是我们要求的是在 $(0,0,1)$ 处的值,这似乎无法直接得到。
       • 重新审视： 题目描述可能有误，或者需要更深的技巧，一个常见的变体是给出 $f_z$ 的信息，我们假设题目想表达的是：已知 $f(x,y,0)=0$，$f_x, f_y$ 的表达式是已知的函数，$f_x(x,y,z)=x, f_y(x,y,z)=y$。
       • 如果我们假设 $f_x(x,y,z)=x$，$f_y(x,y,z)=y$，$\nabla f = (x, y, f_z)$，在 $(0,0,1)$ 点，$\nabla f = (0, 0, f_z(0,0,1))$。
       • 但 $f_z(0,0,1)$ 仍然未知，看来题目确实存在信息缺失或表述不清的问题，在实际考试中，应寻求最合理的解释，通常这类问题会给出 $f_z$ 的信息，$f_z(x,y,z)=z$。
       • 假设题目为： $\frac{\partial f}{\partial x} = x$, $\frac{\partial f}{\partial y} = y$。$f(x,y,z) = \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{2}y^2 + g(z)$，由 $f(x,y,0)=0$ 得 $g(0)=0$，但 $g(z)$ 仍未知。
       • 最可能的情况是题目描述有误，或者 $f_z$ 的信息在别处。 我们换一种思路，可能题目是想说 $f_x$ 和 $f_y$ 的值在 $(0,0,1)$ 处与 $x,y$ 有关,这说不通。
       • 标准解法（基于常见题型）： 假设题目给出的是 $f_z$ 的信息，$f_z(x,y,z)=z$，那么在 $(0,0,1)$ 点，$\nabla f = (f_x(0,0,1), f_y(0,0,1), 1)$，由 $f(x,y,0)=0$，对 $x$ 求导得 $f_x(x,y,0)=0$。$f_x(0,0,1)$ 的值未知,题目信息确实不完整。
       • 此题在流传版本中常有表述不清之处，核心考点是方向导数的计算公式和利用隐含条件求偏导,考生应掌握基本方法。

• 第19-23题：

  • 第19题（二重积分）： 考查极坐标下的二重积分计算,属于常规计算题。
  • 第20题（微分方程）： 考查可降阶的二阶微分方程 $y'' = f(x, y')$，设 $p=y'$，则 $y''=p'$，转化为 $p'=f(x,p)$，求解后积分得到 $y$。
  • 第21题（中值定理证明）：
    • 题目： 设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0$，$f(1)=1$，证明： (I) 存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $f(\xi)=1-\xi$。 (II) 存在两个不同的点 $\eta, \zeta \in (0,1)$，使得 $f'(\eta) f'(\zeta) = 1$。
    • 解析：
      • (I) 证明： 考虑辅助函数 $F(x) = f(x) + x - 1$。$F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
        • $F(0) = f(0) + 0 - 1 = -1 < 0$。
        • $F(1) = f(1) + 1 - 1 = 1 > 0$。
        • 由零点定理，存在 $\xi \in (0,1)$，使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi) = 1-\xi$。
      • (II) 证明： 在 $[0,\xi]$ 和 $[\xi,1]$ 上分别应用拉格朗日中值定理。
        • 在 $[0,\xi]$ 上，存在 $\eta \in (0,\xi)$，使得 $f'(\eta) = \frac{f(\xi) - f(0)}{\xi - 0} = \frac{1-\xi}{\xi}$。
        • 在 $[\xi,1]$ 上，存在 $\zeta \in (\xi,1)$，使得 $f'(\zeta) = \frac{f(1) - f(\xi)}{1 - \xi} = \frac{1 - (1-\xi)}{1-\xi} = \frac{\xi}{1-\xi}$。
        • $f'(\eta) f'(\zeta) = \frac{1-\xi}{\xi} \cdot \frac{\xi}{1-\xi} = 1$。
    • 考点： 零点定理、拉格朗日中值定理的综合应用，这是中值定理证明题的经典模型,区分度很高。
  • 第22题（级数）： 考查幂级数的收敛域和和函数，先求收敛半径，再讨论端点，求和函数时，利用逐项求导或逐项积分,转化为等比级数或已知函数的展开式。
  • 第23题（曲线积分）： 考查第二类曲线积分，可以用参数化直接计算，也可以验证是否为保守场，若是则与路径无关，选择更简单的路径（如直线段）计算。

备考启示与总结

2010年真题给所有考研学子提供了宝贵的备考方向：

1. 基础为王，概念至上： 彻底抛弃“重技巧、轻概念”的备考思想，对每一个定义、定理、公式，不仅要记住，更要理解其内涵、外延和适用条件，选择题和证明题的比重增加,就是对这一点的最好印证。
2. 构建知识网络，强化综合能力： 复习时要有意识地将不同章节的知识点联系起来，微分方程和定积分的结合，级数和极限的结合等,要学会站在一个更高的视角看待问题。
3. 重视计算，追求准确： 虽然计算量降低，但计算准确性是得分的基石，每年都有大量考生因为计算失误而丢分，平时练习就要注重步骤规范,提高心算和笔算的准确率。
4. 重视证明题： 中值定理的证明是每年都可能考查的重点，要掌握其基本证明思想（构造辅助函数）和常见模型，对于其他证明题，也要敢于尝试,从定义和定理出发进行推导。
5. 研究真题，把握趋势： 2010年之后的真题风格都深受其影响，研究这份真题，可以清晰地把握近十年考研数学的命题趋势：回归基础、强调应用、注重思维。

2010年数学二真题是一份极具价值的“风向标”试卷，它告诉我们，考研数学的考察已经从“算得出”向“想得通、理得清”转变，备考过程应是一个不断深化理解、融会贯通的过程。